Factorizar una diferencia de cubos.
La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores: el primero es la diferencia de los números y el segundo es la suma del cuadrado del primero más el producto de ambos más el cuadrado del segundo. Es decir:
$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$La diferencia de dos cubos puede visualizarse de la siguiente manera: supongamos que $a ≥ b$, entonces al cubo de arista $a$ le sustraemos un cubo de arista $b$. El cuerpo restante puede descomponerse en tres paralelepípedos cuyos volúmenes son $a^{2}(a-b)$, $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$. Por tanto, al sumar estos volúmenes obtenemos:
$$a^{3}-b^{3}=a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)$$y sacando $(a - b)$ como factor común, llegamos a la identidad:
$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$El siguiente recuadro interactivo nos permite visualizar la partición del cubo de lado $a$, en el cubo de lado $b$ más los tres paralelepípedos con volúmenes $a^{2}(a-b)$ , $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$.
Agrupando términos, podemos ver el segundo miembro de la fórmula como:
$$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$Usando esto podemos concluir que se cumple la igualdad $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.
En el primero escribe dentro de los espacios los números que factorizan la siguiente diferencia de cubos. Presiona ↵ al terminar de escribir cada valor.
Escribe dentro de los espacios en blanco los exponentes que necesitan las variables de la siguiente expresión, para que el producto de lado derecho sea la factorización de la expresión como una diferencia de cubos. Presiona ↵ al terminar de escribir cada valor.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor:Gabriel Gutiérrez García
Edición académica: José Luis Abreu León
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.