Las funciones del tipo $f(x)=c(g(x))^{n}$ son el producto de una constante $c$ y una función compuesta $h(x)=g(x)^{n}$.
Recordemos que la derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función; así, tenemos que
$$\tag{1} (c h(x))'=c(h'(x))$$que con la notación de Leibniz es igual a:
$$\frac{d}{dx}ch(x)=c\frac{d}{dx}h(x)$$Para calcular la derivada de una composición de funciones, se utiliza la regla de la cadena, que en el caso en el que la segunda función que se aplica es una potenciación:
$$\tag{2} (g^{n})'(x)=n(g^{n-1}(x))g'(x)$$o bien, con la notación de Leibniz, al llamar $u=g(x)$, tenemos que:
$$\tag{3} \frac{du^{n}}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}$$Las fórmulas (2) y (3) son ciertas para cualquier número real $n$, aunque en esta lección nos limitaremos a valores de $n$ racionales.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Carlos Hernández Garciadiego
Edición académica: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego
Edición técnica: Octavio Fonseca Ramos
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.
Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.