Resolver por cualquier método un sistema de ecuaciones con una ecuación lineal y otra cuadrática.
Un sistema de ecuaciones con una ecuación lineal y otra cuadrática tiene la forma:
$$\begin{aligned} g x + h y + r &= 0 \\ a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f &= 0 \end{aligned}$$y resolverlo significa encontrar números $x$ y $y$ que satisfagan las dos ecuaciones. En esta lección trataremos el caso, cuando $b = 0$ y $c = 0$, es decir, resolveremos el sistema:
$$\tag{1} g x + h y + r = 0$$ $$\tag{2} a x^{2} + d x + e y + f = 0$$Si en la ecuación (2), $a = 0$, entonces, tenemos un sistema de ecuaciones lineales de $2 × 2$, el cual ha sido tratado en otras lecciones, por lo tanto, descartaremos ese caso y supondremos que $a ≠ 0$ y también que en la ecuación (1), $g$ y $h$ no son cero.
Con estas condiciones, lo que se hará es despejar $y$ de la ecuación (1) y sustituir la expresión resultante en la ecuación 2, quedando:
$$\tag{3} y = \frac{-r - g x}{h}$$ $$\tag{4} a x^{2} + d x + e \Big(\frac{-r - g x}{h}\Big) + f = 0$$De tal manera que al realizar operaciones y agrupar términos semejantes en (4) y queda:
$$\tag{5} a h x^{2} + (d h - e g) x + (f h - e r) = 0$$Es decir, queda una ecuación de la forma:
$$\tag{6} A x^{2} + B x +C = 0$$donde: $A =a h$ , $B = d h -e g $ y $C = f h - e r $.
Al resolver (6) y si suponemos que $A≠0$, se pueden tener los siguientes casos:
Gráficamente, la ecuación lineal representa una recta y la cuadrática una parábola. Por tanto, los tres casos corresponden a las siguientes situaciones gráficas:
Resuelve el siguiente sistema en tu cuaderno y comprueba tu respuesta pulsando el botón de Verificar. El programa te dará el resultado con cinco decimales.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Héctor de Jesús Argueta Villamar y María Juana Linares Altamirano
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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