Puntos en el plano
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

Objetivo

Calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano.

Procedimiento

Sean $P(x_{1},y_{1})$ y $Q(x_{2}, y_{2})$ dos puntos cualesquiera del plano cartesiano.

Para calcular la distancia entre $P$ y $Q$, se obtiene la longitud del segmento $\overline{PQ}$, denotada por $|\overline{PQ}|$, mediante la fórmula:

$$\tag{1} |\overline{PQ}| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Dicha fórmula es, como se muestra más adelante, una aplicación del teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Sean $x_{1}$ , $y_{1}$ las coordenadas del punto $P$, y $x_{2}$, $y_{2}$ las coordenadas del punto $Q$.

Elige otros valores para $x_{1}$, $y_{1}$, $x_{2}$ y $y_{2}$. Comprueba cómo cambia la distancia entre los puntos $P$ y $Q$.

Por lo tanto, para calcular la distancia entre $P$ y $Q$, se sustituyen las coordenadas de cada uno de los puntos en la fórmula (1).

Idea gráfica

Si los puntos $P$ y $Q$ no están en una línea vertical u horizontal, entonces se construye el triángulo rectángulo, que tiene por hipotenusa el segmento $\overline{PQ}$; las longitudes de sus catetos son |$x_{2}-x_{1}$| y |$y_{2}-y_{1}$|.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras se tiene que:

$$|\overline{PQ}|^{2} = | x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}$$

Por otro lado, se sabe que: $|a|^{2}=a^{2}$ para todo número real a, de donde se tiene que:

$$|\overline{PQ}|^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$$

Por lo tanto, $|\overline{PQ}| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

Si los puntos $P$ y $Q$ están alineados, vertical u horizontalmente, uno de los sumandos de la fórmula (1) vale cero, pero inclusive en estos casos es válida la fórmula (1), pues si $y_{2}-y_{1}=0$ , entonces: $|\overline{PQ}| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}}=|x_{2}-x_{1}|$ que es la longitud de un segmento horizontal.

Ejercicios


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Héctor de Jesús Argueta Villamar y María Juana Linares Altamirano

Edición académica: José Luis Abreu León, Carlos Hernández Garciadiego y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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