Obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en $(h,k)$ que pasa por el punto $(x,y)$
La ecuación ordinaria o estándar de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:
$$\tag{1} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$La ecuación general de todas las cónicas es:
$$\tag{2} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$En el siguiente recuadro interactivo, cambia el valor de $(h,k)$ y de $(a,b)$. Observa cómo cambia $r$ y la ecuación de la circunferencia al modificar dichos valores. Recuerda que puedes acercar o alejar la imagen con el pulsador que se encuentra en el extremo inferior del gráfico.
El radio $r$ es la distancia del punto $(a,b)$ al centro $(h,k)$. Para encontrar la ecuación general de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y que pasa por un punto $(a,b)$ se realiza el siguiente procedimiento:
Para conocer el radio, se calcula la distancia del centro $O(h,k)$ al punto $P(a,b)$ por donde pasa la circunferencia. Éste es el radio de la circunferencia:
$$\tag{3} r=d(P,O)=\sqrt[ ]{(a-h)^{2}+(b-k)^{2}}$$Se sustituye este valor y las coordenadas del centro en la ecuación ordinaria (1), observa que como en (1) se necesita $r^{2}$ no es necesario extraer la raíz cuadrada.
En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se encuentra el radio y cómo se determina la ecuación general de la circunferencia con centro en $(h,k)$ que pasa por un punto $(a,b)$. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo inferior izquierdo del cuadro y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo inferior derecho del cuadro.
Escribe el resultado en los campos de texto del recuadro interactivo y a continuación, presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto, en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar, se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego, Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: Fernando René Martínez Ortíz
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Octavio Fonseca Ramos
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.
Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.