Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en el origen y foco conocido.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en el origen es de la forma:

$y^{2}=4px$, si abre hacia la derecha $y^{2}=-4px$, si abre hacia la izquierda $(1)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en el origen es de la forma:

$x^{2}=4py$, si abre hacia arriba $x^{2}=-4py$, si abre hacia abajo $(2)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), simplemente se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación.

Procedimiento

Para determinar la forma general de la parábola con vértice en el origen y foco conocido:

1. Se calcula $p$, la distancia del vértice, que en este caso es el origen $(0,0)$, al foco.
2. Se utiliza la ecuación (1) o (2) considerando si el foco está en el eje $X$ o en el eje $Y$.
3. Se elige el signo tomando en cuenta la posición del vértice respecto al foco (ver tabla al final del procedimiento).
4. Finalmente, se pasan todos los términos al primer miembro de la ecuación para obtener la ecuación de la parábola en la forma general.

Solución

Utiliza los pulsadores del siguiente recuadro interactivo; cambia el valor de las coordenadas del foco y observa cómo se modifica tanto la gráfica, como la ecuación ordinaria de la parábola, cuando la primera y segunda coordenadas del foco asumen valores tanto negativos como positivos. Analiza cada caso y compara dichos resultados con los del cuadro anterior. El pulsador situado en el extremo inferior derecho te permitirá acercar o alejar la imagen.

Parábola horizontal Parábola vertical

Primera coordenada del Foco: Segunda coordenada del foco:

Ejemplos

En el siguiente recuadro interactivo observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con centro en el origen y foco $(x, y)$. Presiona el pulsador que se sitúa debajo del ejercicio y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón que se localiza en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro y presiona ↲. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá hacer otro ejercicio.