Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en $(h,k)$ y foco conocido.
La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h,k)$ es de las formas:
$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda $(1)$
en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h,k)$ es de las formas:
$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo $(2)$
en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:
$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, se desarrolla el binomio al cuadrado y se simplifica.
Si la parábola es horizontal, debe quedar una ecuación de la forma:
$$y^{2}+Dx+Ey+F=0$$Si la parábola es vertical, debe quedar una ecuación de la forma:
$$x^{2}+Dx+Ey+F=0$$Para obtener la ecuación general de una parábola cuyo eje focal es paralelo a uno de los ejes, con vértice en un punto $(h,k)$ y foco conocido:
Con los pulsadores que se encuentran en el siguiente recuadro interactivo, cambia el valor del vértice, así como de la primera y segunda coordenadas del foco y observa cómo se modifica tanto la gráfica como la ecuación general de la parábola al variar dichos valores. Los pulsadores en la parte inferior derecha de cada gráfica te permiten acercar o alejar la gráfica. Puedes mover los planos en caso de que tu foco o vértice queden fuera de éste. Siempre puedes volver a centrar los planos en el origen y recuperar la escala original oprimiendo el botón Centrar al origen situado bajo cada plano.
Parábola horizontal Parábola vertical
En el recuadro interactivo que se presenta a continuación, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en $(h,k)$ y foco alineado horizontal o verticalmente con el vértice. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo superior izquierdo y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Para analizar otros casos, oprime el botón Otro ejemplo ubicado en el extremo superior derecho.
En el siguiente recuadro interactivo, determina lo que se te pida en cada caso. Elige de cada menú la opción que consideres adecuada. Escribe el resultado sobre los campos de texto y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; de no ser así, inténtalo de nuevo. Al terminar aparecerá el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Alejandro Radillo Díaz
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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