Objetivo

Obtener cualquiera de los elementos (vértice, foco, directriz, lado recto, eje focal o concavidad) de una parábola a partir de su ecuación ordinaria.

Recordatorio

Si en la ecuación el término al cuadrado contiene a $y$, la parábola es horizontal y su vértice es el punto $V(h,k)$:

$$\tag{1} (y-k)^{2}=A(x-h)$$

Si en la ecuación el término al cuadrado contiene a $x$, la parábola es vertical y su vértice es el punto $V(h,k)$:

$$\tag{2} (x-h)^{2 }=A(y-k)$$

El número $p=\displaystyle \frac{|A|}{4}$ es la distancia del vértice al foco y se denomina parámetro.

El eje focal de la parábola es la recta que une al vértice y al foco.

La directriz es la recta perpendicular al eje focal que está a una distancia $p$ del vértice, del lado opuesto al foco.

El lado recto es el segmento de recta comprendido en la parábola, paralelo a la directriz, que pasa por el foco. Su longitud es $4p$.

Solución

Caso 1: Ecuación de la forma $(y-k)^{2}=A(x-h)$

La parábola horizontal

En general, si la parábola es horizontal, el signo del coeficiente $A$ determina hacia dónde abre la parábola:

• Si $A > 0$, abre hacia la derecha.
• Si $A < 0$, abre hacia la izquierda.

Si $A > 0$, entonces el foco está a $p$ unidades a la derecha del vértice, y si $A < 0$, entonces el foco está a $p$ unidades a la izquierda del vértice.

El vértice y el foco están en la misma recta horizontal, que es el eje focal. En este caso, es la recta $y = k$.

La directriz es la recta vertical que está a una distancia $p$ del vértice, del lado opuesto al foco. El lado recto es el segmento vertical de longitud $4p$ que pasa por el foco. La parábola pasa por sus extremos.

Caso 2: Ecuación de la forma $(x-h)^{2}=A(y-k)$

La parábola vertical

En general, si la parábola es vertical, el signo del coeficiente $A$ determina hacia dónde abre la parábola:

• Si $A > 0$, abre hacia arriba.
• Si $A < 0$, abre hacia abajo.

Si $A > 0$, entonces el foco está a p unidades arriba del vértice, y si $A < 0$, entonces el foco está a $p$ unidades abajo del vértice.

El vértice y el foco están en la misma recta vertical, que es el eje focal. En este caso, es la recta $x=h$.

La directriz es una recta horizontal que está a una distancia $p$ del vértice, del lado opuesto al foco. El lado recto es el segmento horizontal de longitud $4p$ que pasa por el foco. La parábola pasa por sus extremos.

Ejemplos

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Cuando termines aparecerá el botón para acceder a un nuevo ejercicio. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.