Objetivo

Determinar el dominio y rango de funciones polinomiales de grado $3$ y $4$.

Solución

La siguiente tabla muestra el dominio y el rango de las funciones polinomiales de grado $3$ y $4$.

donde $m$ y $M$ son el mínimo y el máximo de la función. A continuación se dará una breve explicación del por qué el dominio y el rango son los conjuntos mencionados en la tabla.

Polinomios de grado $3$

Es posible notar que, cuando el valor de $x$ se aproxima a infinito o menos infinito, el término $ax^{3}$ en valor absoluto, sin considerar el signo, es más grande que los otros términos del polinomio $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ por lo que, el término $ax^{3}$ predominará en los extremos de la gráfica de $f(x)$, esto es, el valor de $f(x)$ será casi tan grande como el valor de $ax^{3}$, lo que pueda llegar a restar $bx^{2}+cx+d$ no será suficiente como para frenar el crecimiento de $ax^{3}$.

Por otro lado, $ax^{3}$ crece al infinito en uno de sus extremos y a menos infinito en otro, pues cuando $x$ es negativo $x^{3}$ sigue siendo negativo. Finalmente, este comportamiento se mantiene en $f(x)$, pues es un comportamiento al infinito. En el siguiente plano podrás apreciar gráficamente la explicación anterior.

Debido a la continuidad de los polinomios, no importa mucho el comportamiento de $f$ en el recuadro azul, pues la gráfica abarcará todos los puntos que faltan por cubrir. De aquí que el rango es el conjunto de los números reales.

Polinomios de grado $4$

El dominio de un polinomio de grado $4$ es el conjunto de los números reales.

Como se mencionó anteriormente, encontrar el rango de una función polinomial de grado $4$ se traduce a encontrar el mínimo o el máximo de la función $f$. Más adelante aprenderás a obtener el máximo y mínimo de una función, por lo pronto, nos enfocaremos en obtener una aproximación del máximo o del mínimo a partir de la gráfica de $f$. A continuación, se proporcionará una breve explicación de por qué el rango de una función polinomial de grado $4$, $f(x)=ax^{4} + bx^{3} +cx^{2}+dx+e$ es $[m,∞)$ cuando $a>0$, o bien, $(-∞,M]$ cuando $a < 0$, donde $m$ y $M$ son el mínimo y el máximo de $f$.

El valor del término $ax^{4}$ en el polinomio $f(x)=ax^{4} + bx^{3} +cx^{2}+dx+e$ será mucho más grande que el resto de los términos cuando $x$ toma valores muy grandes. Esto significa que, cuando el valor de $x$ aumente al infinito el valor de la función será muy parecido al de $ax^{4}$. Si $a < 0$, el término $ax^{4}$ tiende a menos infinito en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. Por otro lado, si $a>0$, el término $ax^{4}$ tiende a infinito en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. La siguiente figura muestra cómo se comporta la gráfica de $f$ en los extremos, aunque falta saber qué pasa en medio:

Entonces, el problema de encontrar el rango de un polinomio de grado $4$, generalmente se traduce en encontrar el mínimo (si $a>0$) o máximo (si $a < 0$) de la función, como se puede ver en la siguiente animación:

La animación sugiere el siguiente método para encontrar el rango:

Identificar el coeficiente de $x^{4}$, literal $a$.
Si $a>0$, entonces se busca el mínimo de la función polinomial, el cual es la ordenada del punto más bajo en la gráfica; si $a < 0$, entonces se busca el máximo, el cual es la ordenada del punto más alto.
Trazar una línea horizontal por el máximo, o el mínimo, y ubicar la ordenada de la intersección de la horizontal con el eje $Y$.
Si $a < 0$ y $M$ es la ordenada encontrada en el paso 3, entonces el rango es $(-∞,M]$ ; si $a>0$ y $m$ es la ordenada encontrada en el paso 3, entonces el rango es $[m,∞)$.

Ejercicios

¿Cuál es el dominio y el rango de las siguientes funciones polinómicas?

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Edición académica: Fernando René Martínez Ortíz y Octavio Fonseca Ramos

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.