Objetivo

Obtener el cociente de $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$, con $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios hasta de grado $4$.

Procedimiento

La división algebraica es la operación inversa de la multiplicación y tiene por objeto encontrar una expresión llamada cociente, a partir de dos expresiones llamadas dividendo y divisor.

Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el cociente es positivo; si tienen signos contrarios, el cociente es negativo.

Cuando se divide un número entero entre otro, algunas veces se obtiene un residuo distinto de cero, lo cual sucede cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. En ese caso, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo.

dividendo = cociente ( divisor ) + residuo

En la división de polinomios, se puede presentar el mismo tipo de situación, en cuyo caso el residuo será siempre un polinomio de grado menor que el divisor.

grado del residuo < grado del divisor

Solución

Para dividir dos polinomios de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)}$ hasta de grado $4$, se siguen estos pasos:

1. Se ordenan ambos polinomios de manera decreciente respecto al grado de la variable.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, respetando la ley de los signos y de esta manera se obtiene el primer término del cociente.
3. Se resta del dividendo el producto del divisor por el primer término del cociente y se obtiene un primer residuo.
4. Se baja el siguiente término del dividendo y se le suma al residuo anterior.
5. Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el segundo término del cociente.
6. Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor al del divisor.
7. Comprobar el resultado verificando que la suma del residuo con el producto del cociente por el divisor sea igual al dividendo.

Ejemplos

Observa la forma en que se efectúa la división de dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón Otro ejemplo.

En muchas ocasiones, la división no es exacta; entonces se llega a un dividendo parcial, no nulo, cuyo grado es inferior al grado del divisor, por lo que no se puede continuar la resolución de la operación. El último dividendo parcial de grado inferior al del divisor recibe el nombre de residuo o resto.

Ejemplos

En los ejemplos del siguiente recuadro, se omitirán los pasos intermedios para la resolución. Supóngase así que los polinomios tanto del dividendo como del divisor se encuentran ordenados y se ha efectuado la división paso a paso como en los ejemplos de arriba. Presiona el pulsador paso a paso y observa qué ocurre con el residuo y a partir de qué momento no se puede continuar el proceso de división.

Ejercicios

Resuelve los ejercicios que siguen en tu cuaderno y después introduce tu respuesta en el recuadro interactivo que se presenta abajo. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará el botón que te permitirá verificar tu respuesta.