Determinar el rango de una función del tipo $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$, con $a$, $b$ y $c$ reales.
El rango de una función del tipo $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$, con $a$, $b$ y $c$ reales, es todo $R$ excepto el número $c$.
$$\{y ∊ R | y ≠ c\}$$Observa la siguiente animación donde se dibuja en rojo el rango de una función del tipo $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$. Los valores de $f(x)$ se acercan mucho al punto azul pero nunca llegan a él.
Para determinar si un valor $y$ está en el rango de una función $f$ hay que preguntarnos si existe $x$ tal que $y=f(x)$.
Por ejemplo, para $f(x)=\frac{2}{x-1}+3$ y $y=1$, buscamos $x$ tal que $1=\frac{2}{x-1}+3$. Despejando $x$ de esta ecuación se obtiene que:
$$-2 = \frac{2}{x-1} ⇒ x-1 = -1 ⇒ x=0$$Por lo que, para $x=0$, $f(0)=\frac{2}{-1}+3=1$ es decir, $1$ está en el rango de $f$.
Para encontrar todo el rango de $f$ tenemos que hacerlo en general, es decir, despejar $x$ de la ecuación:
$$y=\frac{2}{x-1}+3$$Lo cual nos da $x=\frac{2}{y-3}+1$, que está definida para $y≠3$. Por ello el rango de $f$ es $\{y∈R | y≠3\}$.
En términos generales, el rango de una función de la forma $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$ es el conjunto de todos los números reales menos $c$. Esto se debe a que al despejar $x$ de la ecuación $y=\frac{a}{x+b}+c$ se obtiene que $x=\frac{a}{y-c}-b$ pero no está definido para $y=c$.
En ocasiones la función puede ser de la forma $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$ pero de manera disfrazada como se muestra en el siguiente ejemplo.
Encontrar el rango de la función:
$$f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$$Esta función puede escribirse como: $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}=\frac{-1}{x+1}+2$. Por lo que el rango de esta función son todos los reales excepto el $2$.
Encuentra el rango de la función dada:
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autora: Valentina Muñoz Porras
Edición académica: José Luis Abreu León, Carlos Hernández Garciadiego y Joel Espinosa Longi
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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