Funciones racionales
Rango de una función racional con numerador y denominador lineales o cuadráticos

Objetivo Determinar el rango de una función del tipo $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ con $P(x)$ y $Q(x)$ lineales o cuadráticas.

Procedimiento

En general, para encontrar el rango de una función $f(x)$ debemos buscar los valores $y$ para los cuales existe $x$ tal que $y=f(x)$.

En el caso que nos interesa, cuando $f(x)$ es el cociente de dos polinomios, el problema se traduce en encontrar las $y$'s para las cuales existe $x$ tal que $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$. Si además suponemos que este cociente está reducido, que $P(x)$ y $Q(x)$ no comparten factores comunes, entonces el problema será equivalente a encontrar los valores de $y$ para los cuales la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ tiene solución.

Solución

Como ya vimos, para encontrar el rango de $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, cuando $P(x)$ y $Q(x)$ no comparten factores comunes, hay que determinar los valores de $y$ que hacen que la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ tenga solución. Como $P(x)$ y $Q(x)$ son lineales o cuadráticos, la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ deberá ser lineal o cuadrática en $x$, lo que vuelve nuestro problema soluble. Pues, debido a las siguientes dos afirmaciones, podemos encontrar las condiciones que debe satisfacer el valor de $y$ para que la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ tenga solución.

  1. Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal de la forma $Bx+C=0$ con $B$ distinto de cero siempre tiene solución.
  2. Ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$ con $A$ distinto de cero, tiene solución, si y sólo si $B^{2}-4AC≥0$.

Cabe destacar que las condiciones $B≠0$, en la primera afirmación; y $A≠0$, en la segunda, son necesarias, pues de lo contrario la ecuación no sería lineal en el primer caso, o cuadrática en el segundo.

En el siguiente cuadro interactivo, cambia los valores de $A$, $B$ y $C$ de la ecuación $Ax^{2}+Bx+C=0$ y observa que la ecuación tiene solución cuando el discriminante es mayor o igual que cero.

Ejemplos

A continuación se muestran cuatro ejemplos donde se calcula el rango de $f$. Puedes pasar al siguiente ejemplo haciendo clic en el botón Siguiente.

Ejercicios

En el siguiente cuadro interactivo aparecen ejercicios para que practiques el cálculo de la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$.

Calcula la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ dónde $P$ y $Q$ son el numerador y denominador de la función dada respectivamente. Elige la respuesta correcta.

En el siguiente cuadro interactivo aparecen ecuaciones de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$ con $A$, $B$ y $C$, funciones que dependen de $y$. Usa la técnica que aquí se explicó para encontrar qué valores de $y$ hacen que la ecuación tenga soluciones reales.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.