Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades pitagóricas

Objetivo

Identificar las identidades trigonométricas pitagóricas: $sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$, $sec^{2}(x)=1+tan^{2}(x)$.

Procedimiento

Dos hechos fundamentales en trigonometría son, primero, que podemos cambiar el tamaño del triángulo rectángulo y las razones trigonométricas no varían (siempre y cuando el ángulo tampoco varíe) y segundo, que en un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$, el cateto opuesto a un ángulo $α$ tiene longitud igual a $sen(α)$ mientras que la del cateto adyacente es igual a $cos(α)$.

Usa el siguiente recuadro interactivo para recordar y asimilar estos dos puntos importantes. Arrastra el control gráfico (punto verde) con el ratón hasta obtener una hipotenusa de tamaño $1$.

Considera un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud $1$ y en el que el cateto opuesto a un ángulo agudo $α$ es $a$ y el cateto adyacente a ese mismo ángulo es $b$, como se muestra en el recuadro de abajo.

Con estas condiciones, se tienen las siguientes igualdades:

$$sen(α)=a$$

y

$$cos(α)=b$$

Ya que, además, en este triángulo rectángulo se puede aplicar el teorema de Pitágoras, la ecuación:

$$a^{2}+b^{2}=1^{2}$$

se convierte, luego de hacer las sustituciones correspondientes, en la identidad trigonométrica pitagórica

$$sen^{2}(α)+cos^{2}(α)=1$$

Con objeto de obtener la segunda identidad trigonométrica pitagórica, se dividen ambos lados de la ecuación anterior entre $cos^{2}(α)$:

$$\frac{sen^{2}(α)+cos^{2}(α)}{cos^{2}(α)}=\frac{1}{cos^{2}(α)}$$

lo cual es equivalente a la ecuación

$$\Big(\frac{sen(α)}{cos(α)}\Big)^{2}+\Big(\frac{cos(α)}{cos(α)}\Big)^{2}=\Big(\frac{1}{cos(α)}\Big)^{2}$$

Sin embargo, haciendo las siguientes sustituciones en la ecuación anterior: $tan(α)=\frac{sen(α)}{cos(α)}$ (identidad trigonométrica de cociente), $1=\frac{cos(α)}{cos(α)}$ y, además, $sec(α)=\frac{1}{cos(α)}$ (identidad trigonométrica recíproca), se obtiene la identidad:

$$tan^{2}(α)+1=sec^{2}(α)$$

Ejercicios

Usa las importantes identidades trigonométricas pitagóricas

para descubrir a cuál de los incisos es igual la expresión dada.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Fernando René Martínez Ortiz y Norma Patricia Apodaca Alvarez

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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