Identificar la gráfica de la función $f(x)=tan(x)$ en el intervalo $[-2π, 2π]$.
Como $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$, entonces la función $f(x)=tan(x)$ no está definida para aquellos valores de $x$ en los cuales $cos(x)=0$, es decir, no está definida en los valores $-\frac{3π}{2}$, $-\frac{π}{2}$, $\frac{π}{2}$ y $\frac{3π}{2}$. De hecho, tiene asíntotas verticales en estos puntos, pues $sen(x)≠0$ en todos ellos.
Por otro lado, así como $sen(x)$ y $cos(x)$ tienen una interpretación geométrica cuando se considera el círculo unitario, se puede dar una interpretación tal a $tan(x)$. Llama $P$ al punto de coordenadas $(t,y)$ y supón que dicho punto se encuentra en el cuadrante $I$ o en el $IV$. Este punto $P$ forma (junto con la parte positiva del eje $X$) un ángulo de medida $x$. De aquí se tiene que $cos(x)=t$ y $sen(x)=y$.
Traza la recta tangente en el punto $S(1,0)$ a la circunferencia unitaria y prolonga el segmento de recta que va del origen $O$ al punto $P$ hasta que intersecte a dicha tangente en el punto $Q(1,u)$. Entonces, ya que los triángulos $OPR$ y $OQS$ son semejantes (donde $R$ es el punto con coordenadas $(t,0)$), se tiene que:
$$tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}=\frac{y}{t}=\frac{u}{1}=u$$de manera que $tan(x)$ es exactamente la ordenada $u$ del punto $Q$. Mueve el control gráfico $P$ con el ratón en el siguiente recuadro interactivo.
Si el punto $(t,y)$ se encuentra en el cuadrante $II$, el triángulo $OPR$ sería congruente con el triángulo $OP'R'$, donde $P'$ y $R'$ tienen coordenadas $(-t,-y)$ y $(-t,0)$, respectivamente. Nota que $P'$ se encuentra en el cuadrante $IV$ y $tan(x)$ tiene el mismo signo en estos dos cuadrantes. Por lo tanto, la tangente del ángulo determinado por $P$ es igual a la tangente del ángulo determinado por $P'$.
De la misma manera la tangente de un ángulo determinado por un punto $P(t,y)$ en el cuadrante $III$ es igual a la tangente del ángulo determinado por $P'(-t,-y)$, punto que esta en el cuadrante $I$. Pulsa el botón y regresa a mover el control gráfico en el recuadro interactivo anterior.
Para realizar la gráfica de la función $f(x)=tan(x)$ los valores en el eje $X$ representarán el ángulo $x$ en radianes. En el siguiente recuadro animado, se representan dos copias del plano cartesiano. En la copia de la izquierda aparece el círculo unitario y un ángulo de medida $x$ que irá cambiando conforme trascurre la animación, dicho ángulo determinará un punto $(1,u)$, también móvil, sobre la recta tangente en $(1,0)$ al círculo unitario cuya ordenada $u$ es el valor de $tan(x)$. En la copia de la derecha aparece la gráfica de $f(x)=tan(x)$. Para ángulos negativos, el arco aparecerá en rojo.
Nota que en los valores de $x$ correspondientes a $-\frac{3π}{2}$, $-\frac{π}{2}$, $\frac{π}{2}$ y $\frac{3π}{2}$ hay líneas verticales que muestran las asíntotas.
En el siguiente recuadro interactivo aparecen (todas en el mismo intervalo de valores de $x$) cuatro gráficas. Reconoce cuál es la que corresponde a la función $f(x)=tan(x)$.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Fernando René Martínez Ortiz
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.
Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.