Determinar el dominio y rango de funciones del tipo $f(x)=ce^{x}$.
Recordemos que el número $e$ es el número cuyo logaritmo natural vale $1$, y equivale aproximadamente a $2.72$. Una expresión como $e^{4}$ nos indica que hay que multiplicar el número de la base, en este caso $e$, tantas veces como indica el exponente, en este caso $4$.
$$e^{4}=e×e×e×e$$Las expresiones con exponentes negativos, como $e^{-4}$, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, por ejemplo $e^{-4}=\frac{1}{e^{4}}=\frac{1}{e×e×e×e}$. Por último, hay que tener presente que $e^{\frac{1}{3}}$ es equivalente a $\sqrt[3]{e}$. En general $e^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{e^{p}}$.
Con lo mencionado en los antecedentes, puedes deducir que el dominio de las funciones del tipo $f(x)=ce^{x}$ incluye a todos los números enteros y se extiende a todos los números racionales.
Aunque no es inmediato, es importante saber que el dominio de estas funciones incluye también a los números irracionales, por lo que su dominio es el conjunto de los números reales.
Observa la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que eleva el número $e$ al exponente indicado y en el segundo renglón el resultado de dicha operación. Observa cómo son los resultados según el exponente:
De la propiedad anterior se deduce que, si $a>0$, entonces $e^{a}$ es mayor que $1$, pues $1=e^{0}$. Como cualquier número mayor que uno tiene su inverso multiplicativo entre cero y uno, y $e^{-a}$ es el inverso multiplicativo de $e^{a}$, entonces $e^{-a}$ se encuentra entre $0$ y $1$. De esto podemos concluir que la función exponencial $e^{x}$ tiene como rango los números mayores que $0$.
A continuación, se muestra la gráfica de la función $f(x)=ce^{x}$, donde $c$ es un coeficiente cualquiera. Modifica los valores del coeficiente mientras observas cómo es la gráfica correspondiente.
Si el coeficiente $c$ es positivo, la función toma valores entre cero y $c$ cuando la $x$ es negativa, y toma valores mayores que $c$ cuando la $x$ es positiva.
De lo anterior se deduce que cuando el coeficiente $c$ es positivo entonces el rango de la función son los reales mayores que $0$.
De forma similar puedes concluir que, cuando el coeficiente es negativo, el rango de la función son los reales menores que cero. Para comprobarlo, modifica los valores en la gráfica y observa qué sucede.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio
Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.
Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.