Objetivo

Identificar la equivalencia de las expresiones $y=a^{x}$ y $log_{a}(y)=x$.

Procedimiento

Los logaritmos se pueden definir por su útil propiedad de convertir las multiplicaciones en simples adiciones. De esta utilidad podemos deducir la siguiente ecuación de funciones:

$$f(xy)=f(x)+f(y)$$

donde $f$ es la función que buscamos definir.

De esta ecuación de funciones podemos deducir que:

$$f(x^{2})=f(x x)=f(x)+f(x)=2f(x)$$

Análogamente podemos deducir que:

$$\begin{aligned} f(x^{p}) &= f(x·x·x ... x·x)\\ &= f(x)+f(x)+f(x)...f(x)+f(x)=pf(x)\\ &= pf(x) \end{aligned}$$

es decir, que $f(x^{p})=pf(x)$.

Si supieramos que $f(a)=1$ entonces tendríamos que $f(a^{p})=pf(a)=p·1=p$. Este hecho nos permite ver que la función que estamos buscando es justamente la función inversa de la función exponencial con base $a$, ya que $f(a^{p})=p$. Por lo tanto, $f(x)$ debe ser la función logarítmo base $a$.

Resumiendo, el logaritmo base $a$ de un número $x$, es el exponente ($n$) al que hay que elevar la base a para que nos dé dicho número ($x$), tal como se muestra a continuación:

$log_{a}x=n$ entonces $x=a^{n}$

Esto quiere decir que el logaritmo es la función inversa de la función exponencial.

Ejemplos

1. ¿Cuánto vale $log_{3}81$?
   Si $3^{x}=81$, entonces $x=4$, ya que $3^{4}=3×3×3×3=9\times 9=81$. Por lo tanto $log_{3}81=4$.
   Una de las utilidades fundamentales del logaritmo es transformar multiplicaciones complicadas en simples sumas. Mediante tablas, antes de la invención de las calculadoras, se obtenían los valores de los logaritmos para realizar más fácilmente las multiplicaciones. Estos cálculos, por los errores de redondeo propios de las tablas de logaritmos, tenían un pequeño margen de error, como se muestra en el siguiente ejemplo.

2. ¿Cuánto vale aproximadamente $1,345×2,456$?
   $ln(1,345)=7.204$ y $ln(2,456)=7.806$ entonces $ln(1,345×2,456)=ln(1.345)+ln(2.456)=7.204+7.806=15.010$ de lo que obtenemos que $1,345×2,456=e^{15.010}=3,301,871.54$ lo cual es un valor muy cercano del real, el cual es $3,303,320$.

Ejercicios